Механическое движение

Механическое движение — изменение положения тела относительно других тел с течением времени.

Для анализа и описания механического движения необходима система отсчета. Основные составляющие системы отсчета:

Тело отсчета (к примеру, Земля)
Система координат (чаще - ПДСК)
Часы, жестко связанные с системой отсчета

Материальная точка

Материальная точка — тело, размерами которого можно пренебречь в данной задаче. Основные случаи применимости модели материальной точки:

Пройденное телом расстояние много больше его характерных размеров
Тело движется поступательно (следующее положение любого отрезка на теле параллельно его предыдущему положению)

Путь, перемещение

Радиус-вектор $r$ — вектор из начала координат в материальную точку. Радиус-вектор однозначно задает положение точки в пространстве. Его проекции:

r = x (t) y (t) z (t)

Найти зависимости координат от времени - решить основную задачу механики.
Траектория — линия, вдоль которой движется тело.
Путь $S$ — длина траектории (то есть скаляр, а не вектор).
Перемещение $S$ — вектор из начального положения тела в конечное. Связь с радиус-вектором:

S = r_{2} - r_{1}

Введенные понятия наглядно показаны на рисунке:
Для пути и перемещения всегда выполняется неравенство:

∣ S ∣ \leq S

Скорость

Скорость материальной точки $v$ — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения.
Это определение не строгое и не полное, но вполне подходит для понимания того, что показывает скорость.
Мгновенная скорость — чисто математическое понятие, равное пределу отношения элементарного перемещения $Δ S$ к бесконечно малому промежутку $Δ t$ :

v = Δ t \to 0 lim \frac{Δ S}{Δ t}

Нас будет интересовать другая трактовка, более привычная человеку, знакомому с понятием производной. Согласно физическому смыслу производной, проекции вектора скорости равны производным от координат:

v_{x} = x^{'} (t)

v_{y} = y^{'} (t)

Ускорение

Ускорение материальной точки $a$ — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Строгое определение ускорения схоже с определением мгновенной скорости:

a = Δ t \to 0 lim \frac{Δ v}{Δ t}

Согласно физическому смыслу производной, проекция вектора ускорения равна первой производной скорости и второй производной координаты:

a_{x} = v_{x}^{'} (t) = x^{''} (t)

Равномерное прямолинейное движение

Равномерное прямолинейное движение - движение с $v = co n s t$ , т.е. скорость постоянна и по модулю, и по направлению. Возможен и другой случай: постоянство скорости лишь по модулю.
Постоянство скорости дает возможность перейти от предела при бесконечно малом времени $Δ t \to 0$ к полному времени движения, отсчет которого начинается с 0:

v_{x} = Δ t \to 0 lim \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{x ( t ) - x _{0}}{t}

Отсюда получим уравнение прямолинейного равномерного движения:

x (t) = x_{0} + v_{x} \cdot t

Важно! Уравнение $x (t)$ - линейная функция, поэтому его график - прямая.

На анимации ниже показано, как график координаты $x (t)$ (сверху) отражает действительное равномерное движение материальной точки по прямой (снизу).

Равноускоренное прямолинейное движение

Равноускоренное движение — движение с $a = co n s t$ , т.е. ускорение постоянно и по модулю, и по направлению.

Уравнение скорости

Из строгого математического определения ускорения можно вывести уравнение скорости при равноускоренном движении. Постоянство ускорения позволяет избавиться от предела и перейти к приращениям за конечный промежуток времени:

a_{x} = Δ t \to 0 lim \frac{Δ v _{x}}{Δ t} = \frac{Δ v _{x}}{Δ t} = \frac{v _{x} - v _{0 x}}{t}

Отсюда получим уравнение проекции скорости $v_{x}$ при прямолинейном равноускоренном движении:

v_{x} (t) = v_{0 x} + a_{x} \cdot t

где $v_{0 x}$ — проекция начальной скорости на ось $x$ ;
$a_{x}$ — проекция ускорения на ось $x$ ;
$t$ — время движения.

Уравнение движения

Есть два способа получить уравнение движения.
Первый - честный - проинтегрировать уравнение скорости. ~~Че за *** проинтегрировать?~~ Нахождение интеграла уравнения скорости - все равно что нахождение функции, которая при взятии производной дает уравнение скорости:
Имеем уравнение скорости $v_{x} (t) = v_{0 x} + a_{x} \cdot t$ . Функция, которая при дифференцировании по переменной $t$ даст зависимость $v_{x} (t)$ :

x (t) = x_{0} + v_{0 x} \cdot t + \frac{a _{x} \cdot t ^{2}}{2}

Те, кто знаком с понятием производной (Алгебра, 10 кл.), могут проверить: возьмите производную $x^{'} (t)$ , учитывая, что $x_{0}, v_{0 x}, a_{x}$ — константы.
Второй - читерство чистой воды - посчитать площадь под графиком функции. На рисунке ниже представлен произвольный график $v_{x} (t)$ в соответствии с уравнением скорости: Площадь под графиком — площадь трапеции — равна проекции вектора перемещения:

S_{x} = \frac{v _{x} + v _{0 x}}{2} \cdot t

Поставим вместо $v_{x}$ уравнение скорости:

S_{x} = \frac{v _{0 x} + a _{x} \cdot t + v _{0 x}}{2} \cdot t = v_{0 x} \cdot t + \frac{a _{x} \cdot t ^{2}}{2}

Так как $S_{x} = x (t) - x_{0}$ (смотри определение перемещения), то:

x (t) = x_{0} + S_{x} = x_{0} + v_{0 x} \cdot t + \frac{a _{x} \cdot t ^{2}}{2}

Любой из двух способов хорош и ведет нас к уравнению прямолинейного равноускоренного движения:

x (t) = x_{0} + v_{0 x} \cdot t + \frac{a _{x} \cdot t ^{2}}{2}

Выше показано, что проекция перемещения связана с $x (t)$ :

S_{x} = v_{0 x} \cdot t + \frac{a _{x} \cdot t ^{2}}{2}

Из площади под графиком мы вывели формулу для проекции перемещения:

S_{x} = \frac{v _{x} + v _{0 x}}{2} \cdot t

При подстановке в последнюю формулу времени, выраженного через уравнение скорости, получим:

S_{x} = \frac{v _{x} + v _{0 x}}{2} \cdot t = \frac{v _{x} + v _{0 x}}{2} \cdot \frac{v _{x} - v _{0 x}}{a _{x}} = \frac{v _{x}^{2} - v _{0 x}^{2}}{2 a _{x}}

Важно! Ученик должен сам выбирать, какую из формул $S_{x}$ использовать, в зависимости от того, что «Дано» в задаче.

На анимации ниже показано, как график координаты $x (t)$ (справа) отражает действительное равноускоренное движение материальной точки по прямой (слева).

Баллистическое движение

Баллистическое движение — движение тела в поле силы тяжести, брошенного под углом к горизонту.
Движение происходит под действием единственной силы $F = m \cdot g$ , поэтому ускорение тела равно $g$ .
На рисунке ниже показан классический пример броска тела под углом к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$ и его дальнейшая траектория движения — парабола.

Проекции ускорения

Проекции скорости

Уравнения баллистического движения

Равномерное движение по окружности

Равномерное движение по окружности — движение с $∣ v ∣ = co n s t$ , при этом траекторией материальной точки является окружность.

Endurance

Проводник

1.1 Кинематика