1.1.8 Криволинейное движение. Движение материальной точки по окружности

Криволинейное движение — движение, при котором траектория материальной точки является кривой линией.

При таком движении вектор скорости в каждой точке направлен по касательной к траектории. Поэтому направление скорости меняется даже тогда, когда её модуль остаётся постоянным.

Простейший пример криволинейного движения — движение материальной точки по окружности радиуса $R$.

Угловая и линейная скорость

Линейная скорость $v$ показывает, как быстро точка движется вдоль окружности. Угловая скорость $\omega$ показывает, как быстро поворачивается радиус, проведённый к движущейся точке.

Линейная и угловая скорости связаны формулой:

где $R$ — радиус окружности. В СИ линейную скорость измеряют в $\text{м/с}$, а угловую — в $\text{рад/с}$.

При равномерном движении по окружности угловая скорость постоянна:

Здесь $T$ — период обращения, то есть время одного полного оборота; $\nu$ — частота обращения, то есть число полных оборотов за единицу времени.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности направление скорости непрерывно меняется. Поэтому ускорение не равно нулю даже при постоянном модуле скорости.

Центростремительное ускорение направлено по радиусу к центру окружности, а его модуль равен:

На анимации красная точка равномерно движется по окружности. Вектор скорости $\vec{v}$ в каждый момент направлен по касательной, а центростремительное ускорение ${\vec{a}}_{\text{цс}}$ — по радиусу к центру окружности.

Важно

При равномерном движении по окружности постоянен модуль скорости, но не сам вектор скорости: его направление всё время меняется.

Полное ускорение материальной точки

При произвольном криволинейном движении полное ускорение складывается из двух взаимно перпендикулярных составляющих:

• тангенциальное ускорение ${\vec{a}}_{\tau }$ направлено по касательной и характеризует изменение модуля скорости;
• нормальное ускорение ${\vec{a}}_n$ направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение направления скорости.

При движении по окружности нормальное ускорение является центростремительным. Если движение равномерное, то $a_{\tau }=0$, поэтому полное ускорение совпадает с центростремительным.

Коротко

• При криволинейном движении скорость направлена по касательной к траектории.
• Для движения по окружности $v=\omega R$.
• При равномерном движении по окружности $\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu$.
• Центростремительное ускорение направлено к центру: $a_{\text{цс}}=\frac{v^2}{R}={\omega }^{2}R$.
• Полное ускорение складывается из тангенциальной и нормальной составляющих.