3.5.1 Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь, состоящая из конденсатора ёмкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$.

Если зарядить конденсатор и замкнуть его на катушку, конденсатор начнёт разряжаться, а сила тока — возрастать. Когда конденсатор разрядится, ток достигнет максимума. Благодаря самоиндукции ток не исчезнет мгновенно и перезарядит конденсатор с противоположной полярностью. Затем процесс повторится в обратном направлении.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда конденсатора и силы тока в контуре, происходящие после начального сообщения энергии без внешнего периодического воздействия.

В идеальном колебательном контуре сопротивление равно нулю, поэтому потерь нет и колебания не затухают.

Заряд и сила тока

Выберем знак заряда $q$ и положительное направление тока так, чтобы

Тогда свободные колебания в идеальном контуре описываются законами

Здесь:

• $q(t)$ — заряд выбранной обкладки конденсатора;
• $I(t)$ — сила тока в контуре;
• $q_{\max }$ и $I_{\max }$ — амплитуды заряда и силы тока;
• $\omega$ — циклическая частота;
• ${\phi }_0$ — начальная фаза.

Заряд и сила тока колеблются с одинаковыми периодом и частотой, но сдвинуты по фазе на $\frac{\pi }{2}$. Поэтому при максимальном по модулю заряде ток равен нулю, а при нулевом заряде модуль тока максимален.

Из выражения для силы тока следует связь амплитуд:

Формула Томсона

Период собственных колебаний идеального контура определяется только его индуктивностью и ёмкостью:

Отсюда циклическая частота

где $T$ — период, с; $L$ — индуктивность катушки, Гн; $C$ — электроёмкость конденсатора, Ф.

• При увеличении $L$ период растёт, а собственная частота уменьшается.
• При увеличении $C$ период растёт, а собственная частота уменьшается.

Не путать

• Свободные колебания происходят без внешнего периодического воздействия; начальное состояние контуру всё же нужно сообщить, например зарядив конденсатор.
• В идеальном контуре колебания незатухающие. В реальном контуре сопротивление приводит к затуханию.
• Максимумы заряда и силы тока наступают не одновременно: они разделены четвертью периода.
• Формула закона сохранения энергии в контуре относится к следующему пункту кодификатора 3.5.2.

Коротко

Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора и катушки. Заряд и ток совершают гармонические колебания со сдвигом фаз $\frac{\pi }{2}$, причём $I_{\max }=\omega q_{\max }$. Период определяется формулой Томсона $T=2\pi \sqrt{LC}$.