1.5.2 Период и частота колебаний. Период малых свободных колебаний математического маятника. Период свободных колебаний пружинного маятника

Период колебаний $T$ — наименьший промежуток времени, через который движение полностью повторяется. За период система совершает одно полное колебание и возвращается не только в то же положение, но и в то же состояние движения.

Частота колебаний $\nu$ — число полных колебаний за единицу времени.

В гармоническом колебании за один период фаза изменяется на $2\pi$. Поэтому период, частота и циклическая частота $\omega$ связаны формулой:

Период измеряется в секундах, частота — в герцах: $1\text{Гц}=1{\text{с}}^{-1}$. Циклическая частота измеряется в радианах в секунду.

Математический маятник

Математический маятник — небольшое тело на невесомой нерастяжимой нити длины $l$.

Период его малых свободных колебаний равен:

где $l$ — длина нити, $g$ — ускорение свободного падения.

Формула справедлива при малом отклонении от вертикали и пренебрежимо малом сопротивлении. Чем длиннее нить, тем больше период; чем больше $g$, тем меньше период. Масса груза в формулу не входит.

Пружинный маятник

Пружинный маятник — груз массы $m$, соединённый с пружиной жёсткости $k$ и совершающий свободные колебания около положения равновесия.

Период свободных колебаний равен:

где $m$ — масса груза, $k$ — жёсткость пружины из закона Гука.

Чем больше масса, тем больше период; чем жёстче пружина, тем меньше период. Формула применима, пока деформация подчиняется закону Гука и потерями энергии можно пренебречь.

Важно

Обе формулы описывают свободные колебания: после начального отклонения систему предоставляют самой себе. Период вынужденных колебаний задаётся внешним периодическим воздействием.

Коротко

• $T$ — время одного полного колебания, $\nu$ — число колебаний за единицу времени.
• $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{1}{\nu }$.
• Математический маятник: $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ при малых свободных колебаниях.
• Пружинный маятник: $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.