1.5.1 Гармонические колебания материальной точки. Амплитуда и фаза колебаний

Гармонические колебания материальной точки — колебания, при которых смещение $x$ от положения равновесия меняется по закону синуса:

Амплитуда и фаза

Амплитуда $A$ — максимальный модуль смещения: $|x|\le A$. Крайним положениям соответствуют $x=-A$ и $x=+A$, а положению равновесия — $x=0$.

Выражение $\omega t+{\phi }_0$ называют фазой колебаний. Фаза показывает состояние точки в данный момент, а начальная фаза ${\phi }_0$ задаёт это состояние при $t=0$. Величина $\omega$ — циклическая частота.

Важно

В формулах $x$ — не путь и не произвольная координата, а смещение со знаком, отсчитанное от положения равновесия.

Кинематическое описание

Проекция скорости равна производной смещения, а проекция ускорения — производной скорости:

Знак минус в $a_x=-{\omega }^{2}x$ означает, что ускорение всегда направлено к положению равновесия. При $x>0$ оно направлено влево, а при $x<0$ — вправо.

Динамическое описание

По второму закону Ньютона $m{a}_x=F_x$. Поэтому динамическое условие гармонических колебаний имеет вид:

Сила направлена к положению равновесия и по модулю пропорциональна смещению. Это условие относится к любому гармоническому осциллятору; пружина служит наглядным примером, потому что для неё связь $F_x=-kx$ совпадает с законом Гука.

В крайних положениях скорость равна нулю, а возвращающая сила максимальна. В положении равновесия сила и ускорение равны нулю, зато модуль скорости максимален.

Энергетическое описание

Если потерями можно пренебречь, кинетическая и потенциальная энергии превращаются друг в друга, а их сумма сохраняется по закону сохранения механической энергии:

В положении равновесия $x=0$, поэтому вся энергия кинетическая. В крайних положениях $|x|=A$ и $v=0$, поэтому вся энергия потенциальная.

Амплитуды скорости и ускорения

Из кинематического описания следуют связи амплитуды смещения с максимальными модулями скорости и ускорения:

Скорость максимальна при прохождении положения равновесия, а модуль ускорения — в крайних положениях.

Одно колебание целиком

На анимации одно и то же движение последовательно описывается через амплитуду и фазу, производные $x$, $v_x$, $a_x$, возвращающую силу и обмен энергией. Цветные векторы и энергетическая полоса меняются синхронно с положением точки.

Коротко

• Гармонические колебания: $x(t)=A\sin (\omega t+{\phi }_0)$.
• Ускорение связано со смещением: $a_x=-{\omega }^{2}x$ и направлено к равновесию.
• Возвращающая сила линейна: $F_x=-kx$, где $k=m{\omega }^2$.
• При отсутствии потерь сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна.
• $v_{\max }=\omega A$, $a_{\max }={\omega }^{2}A$.