1.1.2 Материальная точка. Её радиус-вектор, траектория, перемещение, путь. Сложение перемещений

Материальная точка — модель тела, размерами и формой которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь.

Одно и то же тело в одной задаче можно считать материальной точкой, а в другой — нельзя. Например, Земля является материальной точкой при описании её движения вокруг Солнца, но не при изучении суточного вращения.

Радиус-вектор

Положение материальной точки относительно начала координат $O$ задаёт радиус-вектор $\vec{r}$ — вектор, проведённый из $O$ к точке.

В момент времени $t$ его координаты равны координатам материальной точки:

Положение и вид движения всегда рассматривают относительно выбранной системы отсчёта.

Траектория

Траектория — линия, которую описывает материальная точка при движении. Иначе говоря, это линия, по которой перемещается конец радиус-вектора $\vec{r}(t)$.

Перемещение

Пусть в моменты $t_1$ и $t_2$ точка имеет радиус-векторы ${\vec{r}}_1=\vec{r}(t_1)$ и ${\vec{r}}_2=\vec{r}(t_2)$. Перемещение — вектор, направленный из начального положения точки в конечное:

Здесь $\Delta x=x_2-x_1$, $\Delta y=y_2-y_1$, $\Delta z=z_2-z_1$ — проекции перемещения на координатные оси.

Путь

Путь — длина участка траектории, пройденного точкой. Путь — скалярная неотрицательная величина, а перемещение — вектор.

В общем случае путь и модуль перемещения не равны. Они совпадают только при движении по прямой в одном направлении.

Сложение перемещений

Перемещения складывают как векторы — по правилу треугольника. В обозначениях кодификатора:

На схеме $\Delta {\vec{r}}_0$ ведёт из начальной точки в промежуточную, $\Delta {\vec{r}}_2$ — из промежуточной точки в конечную, а $\Delta {\vec{r}}_1$ задаёт итоговое перемещение.

Важно

Траектория и путь зависят от всего движения точки, а перемещение определяется только её начальным и конечным положениями.

Изменение перемещения со временем определяет скорость материальной точки.

Коротко

• Материальная точка — модель тела без учёта его размеров и формы.
• Радиус-вектор задаёт положение точки относительно начала координат.
• Траектория — линия движения, путь — её пройденная длина.
• Перемещение соединяет начальное положение с конечным.
• Перемещения складываются по правилу сложения векторов.