2.1.6 Основное уравнение МКТ идеального газа

В модели идеального газа давление возникает из-за ударов молекул о стенки сосуда. Каждая молекула при столкновении со стенкой передаёт ей импульс, а множество таких ударов за единицу времени создаёт силу давления.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает макроскопическую величину — давление газа — с микроскопическим движением его молекул.

Формула

Для идеального газа:

где $p$ — давление газа;
$m_0$ — масса одной молекулы;
$n$ — концентрация молекул;
$\overline{v^2}$ — среднее значение квадрата скорости молекул.

Концентрация молекул показывает, сколько молекул приходится на единицу объёма:

где $N$ — число молекул газа, $V$ — объём газа.

Связь с кинетической энергией

Средняя кинетическая энергия поступательного теплового движения одной молекулы равна:

Поэтому основное уравнение МКТ можно записать так:

Эта запись особенно важна: давление газа зависит не только от того, сколько молекул находится в единице объёма, но и от того, насколько велика средняя кинетическая энергия их поступательного движения.

Как понимать уравнение

Если концентрация $n$ увеличивается, то молекулы чаще ударяются о стенки сосуда. Поэтому при той же средней энергии молекул давление становится больше.

Если средняя кинетическая энергия ${\overline{\epsilon }}_{\text{пост}}$ увеличивается, то молекулы в среднем движутся быстрее и сильнее ударяют о стенки. Поэтому при той же концентрации давление тоже становится больше.

Важно

В уравнении используется не скорость одной отдельной молекулы, а средняя величина для огромного числа молекул. Отдельные молекулы движутся хаотически, но давление является устойчивой макроскопической величиной.

Что связывает основное уравнение

Основное уравнение МКТ показывает связь двух уровней описания газа:

1. Макроскопический уровень: давление $p$, которое можно измерить прибором.
2. Микроскопический уровень: масса молекулы $m_0$, концентрация $n$ и средний квадрат скорости $\overline{v^2}$.

Именно поэтому это уравнение является одним из главных результатов молекулярно-кинетической теории: оно объясняет давление газа через движение молекул.

Коротко

• Давление идеального газа создаётся ударами молекул о стенки сосуда.
• Основное уравнение МКТ: $p=\frac{1}{3}{m}_{0}n\overline{v^2}$.
• Концентрация молекул: $n=\frac{N}{V}$.
• Через среднюю кинетическую энергию поступательного движения: $p=\frac{2}{3}n{\overline{\epsilon }}_{\text{пост}}$.
• Давление растёт при увеличении концентрации молекул или средней кинетической энергии их поступательного движения.